关于复数
先说我的疑问是怎么来的
本来以为复数的结构很简单，就是在复空间上引进范数，让复空间形成一个赋范线性空间。但是发现不太对。因为复数相乘出来的结果是复数，显然这个乘法不是范数的定义。因为范数要求映射到实数域上。然后我就很迷惑了，为什么要定义这样的一个乘法。
然后看到书上关于复数的定义
直接给出了以下两条规则
加法：(a1 +ib1) + (a2 + ib2) = (a1 + a2) + i(b1 + b2)
乘法：(a1 + ib1) *(a2 + ib2) = (a1*a2 - b1*b2) + i(b2*a1 + b1*a2)
第一条加法原因是很明显的，这是要在实数的基础上构造出一个线性空间。而且是最简单的加法关系。
第二个乘法的意义也是很明确的，这是构造出一个群的结构。但是这个乘法就没有这么直接了。
问题在于为什么要这样构造乘法，理论上乘法的构造方法应该有很多种
只要满足
1.有单位元
2.有逆元
3.封闭性
4.结合律
就应该可以了（应该没有记错吧）。这里值得注意的是这个乘法和加法之间并不是相互独立的。有了加法就有了线性空间，下一步想干的是自然是给这个空间找一个范数，让这个空间具有几何上的意义。
范数要满足的条件很简单，就是三角形法则，
两边之和大于第三边，两边之差小于第三遍
为什么要满足三角形法则呢，因为只有这样才能定义出有意义的角度，cos(theta) = a*b/(|a|*|b|)要保证这个cos(theta)在[-1,1]的区间内
按照这样的要求就找到了如下满足条件的范数的定义
|z||z| = z*z_bar z_bar是z的共轭
这里我感觉很不舒服，因为在定义范数的时候使用到了乘法。我觉的一个合理的过程应该是先定义出范数，(因为范数是属于加法的空间的，和乘法应该没有关系)，然后根据范数和乘法之间的关系，再引入乘法。
按照我的思路来吧。
现在先不引入乘法，只是引入了范数。这个范数是如何定义的呢。现在还不知道。只不过它是满足以上关系的某种映射而已。
现在我们有了一个具有群和赋范线性空间的代数结构。这么说貌似也还是有问题，因为加法本身也构成一个群。我们想让这个结构具有更多漂亮的性质，那么就应该让这个乘法和这个加法相互联系起来。最直接的联系就是分配律。
a*(b + c) = a*b +a*c
这样我们就有了一个环的结构
环的定义很简单
1.有加法
这个加法其实就是一个阿贝尔群
2.有乘法
今天才看到这个乘法实际上只要是半群就可以了
3.加法和乘法满足分配律
不过走到现在我的问题还是没有解决，为什么要这样定义乘法，为什么要如此定义内积。
当然如此定义的乘法和内积能够成功构造出我们想要的结构。但是怎么能由这个结构反推出乘法和内积的定义。如果不是唯一的那么为什么选择现在的这种定义。现在的这种定义是不是还有什么新的代数结构，如果有是什么呢。
再回到物理上来，为什么物理上要用到很多复数。说到底用到复数就是因为用起来很方便而已，那么又是复数的什么性质导致复数用起来很方便呢？